תוֹכֶן
ההגדרה של אפסילון-דלתא היא הפגנה כי התלמידים לומדים בשנה הראשונה של שיעורי חצץ. הגדרה זו היא דרך קלאסית להראות כי פונקציה ניגשת לסף מסוים כאשר משתנה בלתי תלוי מתקרב לערך נתון. אפסילון ודלתא הן, בהתאמה, האות הרביעית והחמישית של האלפבית היווני. אותיות אלה משמשות באופן מסורתי בתהליך חישוב הגבולות, והן משמשות גם בתהליכי הדגמה.
הוראות
-
יש להתחיל בעבודה עם הגדרת הגבול הרשמית. הגדרה זו קובעת כי "הגודל של f (x) הוא L, כאשר x מתקרב k, אם לכל אפסילון גדול מאפס יש דלתא מקבילה, גדולה מאפס, כך שכאשר הערך המוחלט של ההפרש בין x ל- k נמוך מדלתא, הערך המוחלט של ההפרש בין f (x) ו- L יהיה פחות מאפסילון ".באופן לא פורמלי, פירוש הדבר הוא שהגבול של f (x) הוא L, כאשר x מתקרב k, אם ניתן לעשות f (x) קרוב ל L לפי הצורך, על ידי מתקרב x ל k. כדי לבצע את ההפגנה epsilon-delta, יש להוכיח כי ניתן להגדיר דלתא במונחים של אפסילון, עבור פונקציה מסוימת גבול.
-
לתפעל את ההצהרה "| f (x) - L | הוא קטן יותר מאשר אפסילון" עד שתקבל | x - k | פחות מערך כלשהו. קחו את זה "ערך כלשהו" להיות דלתא. זכור את ההגדרה הפורמלית ואת הרעיון המרכזי, הקובע כי יש צורך להראות כי עבור אפסילון כל יש דלתא, ביסוס ביניהם יחס שהופך את ההגדרה נכון. מסיבה זו, יש צורך להגדיר דלתא במונחים של אפסילון.
-
שימו לב לדוגמאות הבאות כדי לקחת מושג כיצד מתרחש ההגדרה. לדוגמה, כדי להוכיח כי המגבלה של 3x-1 היא 2, כאשר x מתקרב 1, אנו רואים k = 1, L = 2 ו- f (x) = 3x-1. כדי להיות בטוח | f (x) - L הוא פחות מ epsilon, לעשות | (3x - 1) - 2 | נמוך מאפסילון. משמעות הדבר היא כי | 3x - 3 | הוא פחות מ epsilon, כך 3 | x - 1 הוא גם, או | | x - 1 הוא פחות אפסילון / 3. לכן, בהתחשב בכך דלתא = epsilon / 3, | (x) - L יהיה פחות מ epsilon בכל פעם | x - k הוא פחות מדלתא.
איך
- החלק המרכזי של ההוכחה הוא להפוך f (x) - L לתוך x - k. אם תשמרו על מטרה זו, שאר ההפגנה תתרחש בצורה מושלמת.
שים לב
- במצבים מסוימים, הגבול של פונקציה עשוי להצביע על כך ש- f (x) נוטה לאינסוף בכל פעם x נוטה לאינסוף. ההגדרה של אפסילון-דלתא אינה פועלת במקרים אלה; במצבים אלה, הדגמה דומה יכולה להיעשות על ידי בחירת שני מספרים גדולים, M ו- N, ולהראות ש- f (x) יכול לחרוג מ- M על ידי גרימת x לחרוג מ- N, ו- M יכול להיות גדול ככל הרצוי.
